Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3 x^{2} + 6 x - 24$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

$3 x^{2} + 6 x - 24$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 24 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 2) (x + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2, - 4$ .

$2, - 4$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 24$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 24$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $25$ .

$f' (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 24$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = 75 - 30 - 24$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $30$ de $75$ .

$f' (- 5) = 45 - 24$

Paso 5.2.2.2

Resta $24$ de $45$ .

$f' (- 5) = 21$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $21$ .

$21$

Paso 5.3

En $x = - 5$ la derivada es $21$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) - 24$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 + 6 (- 1) - 24$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = 3 + 6 (- 1) - 24$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 - 6 - 24$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $6$ de $3$ .

$f' (- 1) = - 3 - 24$

Paso 6.2.2.2

Resta $24$ de $- 3$ .

$f' (- 1) = - 27$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 27$ .

$- 27$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 27$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 4, 2)$ .

Decrecimiento en $(- 4, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

Paso 7.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = 3^{1 + 2} + 6 (3) - 24$

Paso 7.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f' (3) = 3^{3} + 6 (3) - 24$

Paso 7.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = 27 + 6 (3) - 24$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$f' (3) = 27 + 18 - 24$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $27$ y $18$ .

$f' (3) = 45 - 24$

Paso 7.2.2.2

Resta $24$ de $45$ .

$f' (3) = 21$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $21$ .

$21$

Paso 7.3

En $x = 3$ la derivada es $21$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 4), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 4, 2)$

Paso 9