Cálculo Ejemplos

Hallar la concavidad f(x)=1/2x^4+2x^3
Paso 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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Paso 1.1
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Combina y .
Paso 1.1.1.2.4
Combina y .
Paso 1.1.1.2.5
Cancela el factor común de y .
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Paso 1.1.1.2.5.1
Factoriza de .
Paso 1.1.1.2.5.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 1.1.1.2.5.2.1
Factoriza de .
Paso 1.1.1.2.5.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.1.1.2.5.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.1.1.2.5.2.4
Divide por .
Paso 1.1.1.3
Evalúa .
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Paso 1.1.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.1.2
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2
Evalúa .
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Paso 1.1.2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.2.3
Multiplica por .
Paso 1.1.2.3
Evalúa .
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Paso 1.1.2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.3.3
Multiplica por .
Paso 1.1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 1.2.2
Factoriza de .
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Paso 1.2.2.1
Factoriza de .
Paso 1.2.2.2
Factoriza de .
Paso 1.2.2.3
Factoriza de .
Paso 1.2.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.2.4
Establece igual a .
Paso 1.2.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.5.1
Establece igual a .
Paso 1.2.5.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 2
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 3
Crea intervalos alrededor de los valores de donde la segunda derivada es cero o indefinida.
Paso 4
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 4.2
Simplifica el resultado.
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Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 4.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 4.2.1.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.3
Multiplica por .
Paso 4.2.2
Resta de .
Paso 4.2.3
La respuesta final es .
Paso 4.3
La gráfica es convexa en el intervalo porque es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Convexo en dado que es positivo
Paso 5
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
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Paso 5.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 5.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.2.1.3
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Resta de .
Paso 5.2.3
La respuesta final es .
Paso 5.3
La gráfica es cóncava en el intervalo porque es negativa.
Cóncavo en dado que es negativo
Cóncavo en dado que es negativo
Paso 6
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 6.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.1.3
Multiplica por .
Paso 6.2.2
Suma y .
Paso 6.2.3
La respuesta final es .
Paso 6.3
La gráfica es convexa en el intervalo porque es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Convexo en dado que es positivo
Paso 7
La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Cóncavo en dado que es negativo
Convexo en dado que es positivo
Paso 8