Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{1}{x}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Paso 1.3

Divide $1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $e^{u}$ en $\frac{1}{2}$ y en $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Paso 4.2

Simplifica.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Paso 5.2

Multiplica $- - e$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Paso 5.2.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Forma decimal:

$1.06956055 \dots$

Paso 7