Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 2.5.2

Reordena los factores de $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.3

Expande $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.7

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.7.1

Mueve $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.7.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.1.4.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Paso 5.2

Resta $4 x^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $4 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

Paso 5.3.2

Resta $4 x y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 5.4

Factoriza $4 y'$ de $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $4 y'$ de $4 y y' x^{2}$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 5.4.2

Factoriza $4 y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 5.4.3

Factoriza $4 y'$ de $- 4 x^{2} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza $4 y'$ de $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 5.4.5

Factoriza $4 y'$ de $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 5.5

Divide cada término en $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ por $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ por $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ .

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 5.5.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 5.5.3.1.1.1.1

Factoriza $4$ de $8 x y$ .

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.5.3.1.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Paso 5.5.3.1.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.1.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.5.3.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ .

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Paso 5.5.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.1.4

Factoriza $x$ de $x (2 y) + x (- x^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.2

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$