Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Paso 2.2.6.2

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$2 x^{- 3}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$2 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 6 x^{- 4}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 6}{x^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5})$

Paso 4.4

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$24 x^{- 5}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.5.2

Combina $24$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}}$