Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{6} \frac{x}{\sqrt{9 + 2 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 9 + 2 x^{2}$ . Entonces $d u = 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 9 + 2 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $9 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + 4 x$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $4 x$ .

$4 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 9 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 9 + 2 \cdot 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 9 + 2 \cdot 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 9 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $9$ y $0$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 9 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 6^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 36$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $36$ .

$u_{upper} = 9 + 72$

Paso 1.5.2

Suma $9$ y $72$ .

$u_{upper} = 81$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 81$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{9}^{81} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{81}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $81$ y en $9$ .

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{1})$

Paso 6.2.9

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3)$

Paso 6.2.10

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (18 - 6)$

Paso 6.2.11

Resta $6$ de $18$ .

$\frac{1}{4} \cdot 12$

Paso 6.2.12

Combina $\frac{1}{4}$ y $12$ .

$\frac{12}{4}$

Paso 6.2.13

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 6.2.13.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4}$

Paso 6.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.13.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Paso 6.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Paso 6.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1}$

Paso 6.2.13.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3$

Paso 7