Cálculo Ejemplos

$\int x \tan^{2} (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \tan^{2} (x)$ .

$x (- x + \tan (x)) - \int - x + \tan (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$x (- x + \tan (x)) - (\int - x d x + \int \tan (x) d x)$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- x + \tan (x)) - (- \int x d x + \int \tan (x) d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \tan (x) d x)$

Paso 5

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Paso 6.2

Simplifica.

$- x \cdot x + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Paso 6.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Paso 6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{1 + 1} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Paso 6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + x \tan (x) - - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 6.4.2

Multiplica $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + 1 \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 6.4.2.2

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 6.5

Reordena los términos.

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$