Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sin (3 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sin (3 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int \cos (3 x) (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int \cos (3 x) (x) d x)$

Paso 4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Paso 8

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Paso 9

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ como $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Para escribir $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 13.2.2

Combina $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.4

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{6}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 13.2.6.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.6.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9})}{3} + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.2

Combina $2$ y $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.3

Combina $2$ y $\frac{\cos (3 x)}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.4

Para escribir $- x^{2} \cos (3 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} - x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.5

Combina $- x^{2} \cos (3 x)$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.7

Para escribir $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.1.8.1

Multiplica $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.10

Reescribe $\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}$ en forma factorizada.

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Paso 15.1.10.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.1.10.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 15.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 15.3.1

Multiplica $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Paso 15.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{27} + C$

Paso 15.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{27} (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)) + C$