Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} e^{- 3 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{- 3 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Paso 4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Paso 6.3

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

Paso 10

Sea $u = - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 10.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

Paso 11.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 14.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 15

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Reescribe $- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 16.2

Simplifica.

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Paso 16.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 16.2.2

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{x^{2}}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 16.2.3

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 16.2.4

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 16.2.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Paso 16.2.6

Para escribir $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 16.2.7

Combina $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 16.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 16.2.9

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 16.2.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{6}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 16.2.11

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 16.2.11.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 16.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 16.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 16.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 16.2.11.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{3} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x})) + C$