Cálculo Ejemplos

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{3 x}$ y $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{3 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 x)$ y $d v = e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3} \cdot - 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3} \cdot - 2$ fuera de la integral.

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4.2

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4.4

Reordena $e^{3 x}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \sin (2 x) e^{3 x} d x)$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 x)$ y $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 \cos (2 x)) d x))$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Paso 7.2

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3}$ por $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{3 \cdot 3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Paso 7.6

Multiplica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Paso 7.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + 1 (\frac{- 2}{3}) (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.6.3

Multiplica $\frac{- 2}{3}$ por $1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 2}{3} (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{2 \cdot - 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Paso 7.8

Multiplica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Paso 7.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sin (2 x) e^{3 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Paso 9.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Paso 9.1.4

Multiplica $\frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Paso 9.1.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{13}{9}$ .

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$

Paso 9.2

Reescribe $(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$ como $(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$ .

$(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$