Cálculo Ejemplos

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{- x}$ y $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 x)$ y $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Paso 3

Dado que $- - 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- - 2$ fuera de la integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Paso 4.3

Reordena $e^{- x}$ y $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 x)$ y $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Paso 6

Dado que $- 1 \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1 \cdot 2$ fuera de la integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Paso 7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Paso 7.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.4

Multiplica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ como $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Paso 9.2.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Paso 9.2.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 1$ de $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Paso 9.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Paso 9.2.5

Reescribe $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ como $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Paso 9.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$