Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 - x}{2 x^{2} + x - 1} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{5 - x}{2 x^{2} + 1 x - 1}$

Paso 1.1.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$\frac{5 - x}{2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1}$

Paso 1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - x}{2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{5 - x}{(2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{5 - x}{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{5 - x}{(2 x - 1) (x + 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(5 - x) (2 x - 1) (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 - x) (2 x - 1) (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 - x) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 - x) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.6.2

Divide $5 - x$ por $1$ .

$5 - x = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.7

Reordena $5$ y $- x$ .

$- x + 5 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$- x + 5 = \frac{A (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$- x + 5 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + 5 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.8.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$- x + 5 = A x + A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.8.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$- x + 5 = A x + A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.1.8.4.2

Divide $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$- x + 5 = A x + A + (B) (2 x - 1)$

Paso 1.1.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + 5 = A x + A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Paso 1.1.8.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x + 5 = A x + A + 2 B x + B \cdot - 1$

Paso 1.1.8.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 B x - 1 \cdot B$

Paso 1.1.8.8

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 B x - B$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Mueve $B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 x B - B$

Paso 1.1.9.2

Mueve $A$ .

$- x + 5 = A x + 2 x B + A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A + 2 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$- 1 = A + 2 B$

$5 = A - 1 B$

$- 1 = A + 2 B$

$5 = A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $- 1 = A + 2 B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = - 1$ .

$A + 2 B = - 1$

$5 = A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - 1 - 2 B$

$5 = A - 1 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1 - 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = A - 1 B$ por $- 1 - 2 B$ .

$5 = (- 1 - 2 B) - 1 B$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $(- 1 - 2 B) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = - 1 - 2 B - B$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 2 B$ .

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $5 = - 1 - 3 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 - 3 B = 5$ .

$- 1 - 3 B = 5$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 B = 5 + 1$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $5$ y $1$ .

$- 3 B = 6$

$A = - 1 - 2 B$

$- 3 B = 6$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 3 B = 6$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 3 B = 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $6$ por $- 3$ .

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - 1 - 2 B$ por $- 2$ .

$A = - 1 - 2 \cdot - 2$

$B = - 2$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $- 1 - 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$A = - 1 + 4$

$B = - 2$

Paso 1.3.4.2.1.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, B = - 2$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2}{x + 1}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 12

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 12.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) + C$