Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

Paso 1

Factoriza $4$ de $1 + 4 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Paso 1.3

Factoriza $4$ de $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe $\frac{1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 5.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 5.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

Paso 5.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$