Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Paso 1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Paso 2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Paso 3

Multiplica el argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combinar.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 4.2

Multiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Paso 5.2

Multiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Reescribe $\sec (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6.4

Reescribe $\sec (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Paso 6.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $\cos (\frac{x}{2})$ de $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.7.2

Factoriza $\cos (\frac{x}{2})$ de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.7.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.7.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.8

Combina $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ y $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6.9

Combina $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 7

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ a $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 8

Convierte de $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ a $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Paso 9

Transforma $\sec^{2} (x)$ a $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Paso 10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Paso 11

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 11.1

Reorganiza los términos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 11.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 11.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Paso 11.4

Reescribe el polinomio.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 11.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Paso 12

Sea $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 12.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Paso 13.3

Combina $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ y $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Paso 13.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Paso 14

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Paso 15

Sea $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 15.1

Deja $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 15.1.1

Diferencia $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Paso 15.1.2

Diferencia.

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Paso 15.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Paso 15.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Paso 15.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

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Paso 15.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- \tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Paso 15.1.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Paso 15.1.4

Resta $\sec^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Paso 15.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 17

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 18

Simplifica la expresión.

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Paso 18.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 18.2

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 18.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 18.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 18.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 19

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Reescribe $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Paso 20.2

Simplifica.

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Paso 20.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Paso 20.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Paso 21

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 21.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Paso 21.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Paso 22

Reordena los términos.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$