Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 2.2

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

Paso 5

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 5.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

Paso 8.3

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Paso 10.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$