Cálculo Ejemplos

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

Paso 1

Sea $u = t^{6} + 5 t$ . Entonces $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ , de modo que $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = t^{6} + 5 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{6} + 5 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$6 t^{5} + 5$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$