Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{7} 2 {(- 2)}^{n - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 1 - 1}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ y ${(- 2)}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- 2)}^{n - 1}$ de ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(- 2)}^{n - (n - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- 2)}^{n - n - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 2)}^{n - n + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(- 2)}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- 2)}^{1}$

Paso 2.2.7

Evalúa el exponente.

$r = - 2$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $n$ en $2 {(- 2)}^{n - 1}$ .

$a = 2 {(- 2)}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 2 {(- 2)}^{0}$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 2 \cdot 1$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = 2$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$2 \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - - 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $7$ .

$2 \frac{1 - - 128}{1 - - 2}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 128$ .

$2 \frac{1 + 128}{1 - - 2}$

Paso 5.1.3

Suma $1$ y $128$ .

$2 \frac{129}{1 - - 2}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{129}{1 + 2}$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$2 (\frac{129}{3})$

Paso 5.3

Divide $129$ por $3$ .

$2 \cdot 43$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $43$ .

$86$