Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.2.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.5

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

Paso 3.4.2

Resta $2 \sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 4.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 4.2.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 4.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Paso 4.4.2.3

Resta $3 \cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ .

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$