Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x + y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Simplifica $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Paso 5.1.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.1

Multiplica $\cos (x + y)$ por $1$ .

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Paso 5.1.1.2.2

Reordena los factores en $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Paso 5.2

Resta $y' \cos (x + y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' - y' \cos (x + y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y' \cos (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Paso 5.4

Reescribe $- 1 \cos (x + y)$ como $- \cos (x + y)$ .

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ por $1 - \cos (x + y)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ por $1 - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $1 - \cos (x + y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$