Cálculo Ejemplos

$y \cos (x) = 4 x^{2} + 5 y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$8 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 x + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$8 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + 5 (2 y y')$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$8 x + 10 y y'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$10 y y' + 8 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 10 y y' + 8 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 10 y y' + 8 x$

Paso 5.2

Resta $10 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 10 y y' = 8 x$

Paso 5.3

Suma $y \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y' \cos (x) - 10 y y' = 8 x + y \sin (x)$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $y' \cos (x) - 10 y y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 10 y y' = 8 x + y \sin (x)$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 10 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 10 y) = 8 x + y \sin (x)$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (\cos (x)) + y' (- 10 y)$ .

$y' (\cos (x) - 10 y) = 8 x + y \sin (x)$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (\cos (x) - 10 y) = 8 x + y \sin (x)$ por $\cos (x) - 10 y$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (\cos (x) - 10 y) = 8 x + y \sin (x)$ por $\cos (x) - 10 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 10 y)}{\cos (x) - 10 y} = \frac{8 x}{\cos (x) - 10 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x) - 10 y$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\cos (x) - 10 y)}{\cos (x) - 10 y} = \frac{8 x}{\cos (x) - 10 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x}{\cos (x) - 10 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{8 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$