Cálculo Ejemplos

$y \sqrt{x + 1} = 4$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.11.2

Multiplica $\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Paso 3.13

Reordena los términos.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Simplifica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 6.1.1

Para escribir ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Combina ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.2

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.3.2.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.3

Simplifica $2 {(x + 1)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.1.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 6.3.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' + 2 y' = - y$

Paso 6.3.2

Factoriza $2 y'$ de $2 x y' + 2 y'$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2 y'$ de $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y' = - y$

Paso 6.3.2.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

Paso 6.3.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (x + 1) = - y$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $2 y' (x + 1) = - y$ por $2 (x + 1)$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $2 y' (x + 1) = - y$ por $2 (x + 1)$ .

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$