Cálculo Ejemplos

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Paso 5.1.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 5.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 5.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1.4.1

Multiplica $\cos (x + y)$ por $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 5.1.1.4.2

Reordena los factores en $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

Paso 5.3

Resta $2 y y' \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

Paso 5.4

Resta $\cos (x + y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ .

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ por $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ por $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.6.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2} \sin (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \cos (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.3.2.5.1

Reescribe $- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ como $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 5.6.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$