Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} - 2 x = 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 2 = - 2 y^{2} x$

Paso 5.1.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ por $2 x^{2} y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ por $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 5.2.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$