Cálculo Ejemplos

$x y + 2 x + 3 y = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y + 2 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + 2 x + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x y' + y + 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y + 2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y + 2 + 3 y'$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$x y' + y + 3 y' + 2$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + y + 3 y' + 2 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 3 y' + 2 = - y$

Paso 5.1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 3 y' = - y - 2$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + 3 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 3 y' = - y - 2$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $3 y'$ .

$y' x + y' \cdot 3 = - y - 2$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot 3$ .

$y' (x + 3) = - y - 2$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x + 3) = - y - 2$ por $x + 3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 3) = - y - 2$ por $x + 3$ .

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y - 2}{x + 3}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 2}{x + 3}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{x + 3}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y + 2)}{x + 3}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (y + 2)$ como $- 1 (y + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{x + 3}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y + 2}{x + 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{x + 3}$