Cálculo Ejemplos

$\tan (4 x + y) = 4 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\tan (4 x + y)) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 4 x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + y$ .

$\sec^{2} (4 x + y) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Divide cada término en $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ por $\sec^{2} (4 x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ por $\sec^{2} (4 x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (4 x + y)$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $4 + y'$ por $1$ .

$4 + y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Paso 5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$