Cálculo Ejemplos

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} - x^{3} y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3} y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Paso 2.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Paso 2.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Paso 3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $3 x^{2} y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $2 x y y' - x^{3} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $- x^{3} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ .

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ por $x (2 y - x^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ por $x (2 y - x^{2})$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $2 y - x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (2 y - x^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(2 y - x^{2}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} + 3 x y x$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Factoriza $y$ de $3 x y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.1.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.4.1

Reescribe $- (y - 3 x^{2})$ como $- 1 (y - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 5.3.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$