Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.9

Resta $4$ de $1$ .

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 2.10

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 10$ .

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$