Cálculo Ejemplos

$y = {(2 x^{3} + 9 x)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 2 x^{3} + 9 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3} + 9 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} + 9 x$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 2.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9 \cdot 1)$

Paso 2.7

Multiplica $9$ por $1$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9)$