Cálculo Ejemplos

$x^{2} {(x - 2)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 2)}^{4}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{4}] + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \cdot 1) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} (2 x)$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{4}$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot {(x - 2)}^{4} x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ de $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 {(x - 2)}^{4} x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ de $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3})$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + 2 {(x - 2)}^{4} x$

Paso 4.1.2

Factoriza $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ de $2 {(x - 2)}^{4} x$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$

Paso 4.1.3

Factoriza $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ de $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

Paso 4.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 x {(x - 2)}^{3} (2 \cdot x + x - 2)$

Paso 4.2.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$2 x {(x - 2)}^{3} (3 x - 2)$