Cálculo Ejemplos

$e^{3 t \sin (2 t)}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t \sin (2 t)$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t \sin (2 t)$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 t \sin (2 t)}$ .

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = \sin (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

Paso 5.5

Multiplica $\sin (2 t)$ por $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$