Cálculo Ejemplos

$F (x) = \sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 3.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 3.10

Combina $- 5$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 3.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$