Cálculo Ejemplos

$(\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) (x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$(\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}]$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.2}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.2}{x}])$

Paso 2.6

Como $\frac{1}{3.2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3.2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3.2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.2}{x}])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.2}{x}])$

Paso 2.8

Multiplica $\frac{1}{3.2}$ por $1$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} + \frac{d}{d x} [\frac{3.2}{x}])$

Paso 2.9

Como $3.2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3.2}{x}$ con respecto a $x$ es $3.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} + 3.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} + 3.2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} + 3.2 (- x^{- 2}))$

Paso 2.12

Multiplica $- 1$ por $3.2$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 x^{- 2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.2} + \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \frac{x}{3.2} + 2 \frac{3.2}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{x}{3.2} x + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $2$ y $\frac{x}{3.2}$ .

$\frac{2 x}{3.2} x + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.2

Combina $\frac{2 x}{3.2}$ y $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.2} + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.2} + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.2} + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.2} + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + 2 \frac{3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.7

Combina $2$ y $\frac{3.2}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + \frac{2 \cdot 3.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.8

Multiplica $2$ por $3.2$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + \frac{6.4}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.9

Combina $\frac{6.4}{x}$ y $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + \frac{6.4 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.10

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + \frac{6.4 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.10.2

Divide $6.4$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + 6.4 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - 3.2 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.11

Combina $- 3.2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + 6.4 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} + \frac{- 3.2}{x^{2}})$

Paso 3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + 6.4 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}})$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2}}{3.2} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2})}{3.2} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.2

Factoriza $3.2$ de $3.2$ .

$\frac{2 (x^{2})}{3.2 (1)} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.3

Separa las fracciones.

$\frac{2}{3.2} \cdot \frac{x^{2}}{1} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.4

Divide $2$ por $3.2$ .

$0.625 \frac{x^{2}}{1} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$0.625 x^{2} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.2} - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.6

Divide $1$ por $3.2$ .

$0.625 x^{2} + (x^{2} + 1) (0.3125 - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.7

Expande $(x^{2} + 1) (0.3125 - \frac{3.2}{x^{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.6.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0.625 x^{2} + x^{2} (0.3125 - \frac{3.2}{x^{2}}) + 1 (0.3125 - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.625 x^{2} + x^{2} \cdot 0.3125 + x^{2} (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 1 (0.3125 - \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$0.625 x^{2} + x^{2} \cdot 0.3125 + x^{2} (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.8.1.1

Mueve $0.3125$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$0.625 x^{2} + 0.3125 \cdot x^{2} + x^{2} (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} - x^{2} \frac{3.2}{x^{2}} + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.6.8.1.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{3.2}{x^{2}} + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.3.2

Cancela el factor común.

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{3.2}{x^{2}} + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.3.3

Reescribe la expresión.

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} - 1 \cdot 3.2 + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $3.2$ .

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} - 3.2 + 1 \cdot 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.5

Multiplica $0.3125$ por $1$ .

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} - 3.2 + 0.3125 + 1 (- \frac{3.2}{x^{2}}) + 6.4$

Paso 3.6.8.1.6

Multiplica $- \frac{3.2}{x^{2}}$ por $1$ .

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} - 3.2 + 0.3125 - \frac{3.2}{x^{2}} + 6.4$

Paso 3.6.8.2

Suma $- 3.2$ y $0.3125$ .

$0.625 x^{2} + 0.3125 x^{2} - 2.8875 - \frac{3.2}{x^{2}} + 6.4$

Paso 3.7

Suma $0.625 x^{2}$ y $0.3125 x^{2}$ .

$0.9375 x^{2} - 2.8875 - \frac{3.2}{x^{2}} + 6.4$

Paso 3.8

Suma $- 2.8875$ y $6.4$ .

$0.9375 x^{2} - \frac{3.2}{x^{2}} + 3.5125$