Cálculo Ejemplos

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x (6 x - 5 x^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

Paso 3.9

Multiplica $6 x - 5 x^{2}$ por $1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.7

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.8

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.9

Suma $18 x$ y $18 x$ .

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

Paso 4.3.10

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

Paso 4.3.11

Resta $15 x^{2}$ de $- 30 x^{2}$ .

$- 45 x^{2} + 36 x$