Cálculo Ejemplos

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sec (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 5

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 6

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Paso 9.3.1.2.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.1.2.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.2

Combina los términos opuestos en $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

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Paso 9.3.2.1

Resta $\sec^{2} (x) \tan (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 0}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.2.2

Suma $\sec (x) \tan (x)$ y $0$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$