Cálculo Ejemplos

$e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 3$ .

$e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)$

Paso 2.6

Suma $14 x$ y $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$ .

$14 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.2

Reordena los factores en $14 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$14 x e^{7 x^{2} + 3}$