Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores en $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5.3.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Paso 5.3.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Paso 5.3.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$