Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ como ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = \frac{8}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Paso 8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8}{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 9.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Combina $\frac{8}{3}$ y $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Paso 11.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{8}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.3

Combina los términos.

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Paso 12.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Paso 12.3.5

Multiplica $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ por $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Paso 12.3.6

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Paso 12.3.7

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Paso 12.3.8

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 12.3.9

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.9.1

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Paso 12.3.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Paso 12.3.9.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Paso 12.3.9.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Paso 12.3.9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Paso 12.3.9.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.9.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Paso 12.3.9.6.2

Suma $- 2$ y $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 12.3.10

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 12.3.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.11.1

Factoriza $4$ de $12 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Paso 12.3.11.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Paso 12.3.11.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$