Cálculo Ejemplos

$t \sqrt{4 - t}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - t}$ como ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(4 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 4 - t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - t$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.3

Mueve ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ y $t$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 10

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 14.2

Combina $\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 14.3.2

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{- t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 16

Multiplica ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 17

Para escribir ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18

Combina ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Multiplica ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 20.1

Mueve ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Simplifica ${(4 - t)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- t + (4 - t) \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Mueve $2$ a la izquierda de $4 - t$ .

$\frac{- t + 2 \cdot (4 - t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- t + 2 \cdot 4 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- t + 8 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- t + 8 - 2 t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2.2

Resta $2 t$ de $- t$ .

$\frac{- 3 t + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 t$ .

$\frac{- (3 t) + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.4

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 t) - 1 (- 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 t) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.6

Reescribe $- (3 t - 8)$ como $- 1 (3 t - 8)$ .

$\frac{- 1 (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 t - 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$