Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

Paso 1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

Paso 2

Reescribe $\ln (x^{2} - 1) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} - 1$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 1 = e^{3}$ .

$x^{2} - 1 = e^{3}$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = e^{3} + 1$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

Paso 3.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

Paso 3.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Forma decimal:

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$