Cálculo Ejemplos

ln (tan (x))

$\ln (\tan (x))$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier

$y = \tan (x)$ , las asíntotas verticales se producen en

$x = \frac{π}{2} + n π$ , donde

$n$ es un número entero. Usa el período básico de

$y = \tan (x)$ ,

$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de

$y = \ln (\tan (x))$ . Establece el interior de la función tangente,

$b x + c$ , para que

$y = a \tan (b x + c) + d$ sea igual a

$- \frac{π}{2}$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de

$y = \ln (\tan (x))$ .

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2

Resuelve

$x$

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Paso 1.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

Evalúa

$\arctan (- \frac{π}{2})$ .

$x = - 1.00388482$

Paso 1.2.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 1.2.4.1

Suma

$2 π$ a

$- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 1.2.4.2

El ángulo resultante de

$2.13770783$ es positivo y coterminal con

$- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = 2.13770783$

Paso 1.2.5

Obtén el período de

$\tan (x)$ .

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Paso 1.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.2.5.4

Divide

$π$ por

$1$ .

$π$

Paso 1.2.6

Suma

$π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 1.2.6.1

Suma

$π$ y

$- 1.00388482$ para obtener el ángulo positivo.

$- 1.00388482 + π$

Paso 1.2.6.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 1.00388482$

Paso 1.2.6.3

Resta

$1.00388482$ de

$3.14159265$ .

$2.13770783$

Paso 1.2.6.4

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 2.13770783$

Paso 1.2.7

El período de la función

$\tan (x)$ es

$π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 1.2.8

Consolida

$2.13770783 + π n$ y

$2.13770783 + π n$ en

$2.13770783 + π n$ .

$x = 2.13770783 + π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = 2.13770783 + π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 1.3

Establece el interior de la función de la tangente

$\tan (x)$ igual a

$\frac{π}{2}$ .

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

Paso 1.4

Resuelve

$x$

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Paso 1.4.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Evalúa

$\arctan (\frac{π}{2})$ .

$x = 1.00388482$

Paso 1.4.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de

$π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Paso 1.4.4

Resuelve

$x$

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Paso 1.4.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

Paso 1.4.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Paso 1.4.4.3

Suma

$3.14159265$ y

$1.00388482$ .

$x = 4.14547747$

Paso 1.4.5

Obtén el período de

$\tan (x)$ .

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Paso 1.4.5.1

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.4.5.2

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.4.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.4.5.4

Divide

$π$ por

$1$ .

$π$

Paso 1.4.6

El período de la función

$\tan (x)$ es

$π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 1.4.7

Consolida

$1.00388482 + π n$ y

$4.14547747 + π n$ en

$1.00388482 + π n$ .

$x = 1.00388482 + π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = 1.00388482 + π n$ , para cualquier número entero

$n$

Paso 1.5

El período básico de

$y = \ln (\tan (x))$ se producirá en

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ , donde

$2.13770783 + π n$ y

$1.00388482 + π n$ son asíntotas verticales.

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

Paso 1.6

Obtén el punto

$\frac{π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales.

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Paso 1.6.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.6.2

Divide

$π$ por

$1$ .

$π$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de

$y = \ln (\tan (x))$ se producen en

$2.13770783 + π n$ ,

$1.00388482 + π n$ y en cada

$π n$ , donde

$n$ es un número entero.

$π n$

Paso 1.8

Solo hay asíntotas verticales para las funciones de tangente y cotangente.

Asíntotas verticales:

$x = 2.13770783 + π n + π n$ para cualquier número entero

$n$

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales:

$x = 2.13770783 + π n + π n$ para cualquier número entero

$n$

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Paso 2

Obtén el punto en

$x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = \ln (\tan (1))$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Evalúa

$\tan (1)$ .

$f (1) = \ln (1.55740772)$

Paso 2.2.2

La respuesta final es

$\ln (1.55740772)$ .

$\ln (1.55740772)$

Paso 3

Obtén el punto en

$x = 4$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$4$ en la expresión.

$f (4) = \ln (\tan (4))$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Evalúa

$\tan (4)$ .

$f (4) = \ln (1.15782128)$

Paso 3.2.2

La respuesta final es

$\ln (1.15782128)$ .

$\ln (1.15782128)$

Paso 4

Obtén el punto en

$x = 7$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$7$ en la expresión.

$f (7) = \ln (\tan (7))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Evalúa

$\tan (7)$ .

$f (7) = \ln (0.87144798)$

Paso 4.2.2

La respuesta final es

$\ln (0.87144798)$ .

$\ln (0.87144798)$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en

$x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ y los puntos

$(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ .

Asíntota vertical:

$x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

Paso 6