Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Paso 1.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Paso 1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

Paso 1.2.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

Paso 1.2.2.2

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

Paso 1.2.2.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Paso 1.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Paso 1.2.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

Paso 1.2.2.5.2

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Paso 1.2.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1.1

Combinar.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4.1.1.3.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Paso 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 1.2.6

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 1.2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 1.2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 1.2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

Paso 1.3.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = - {(2)}^{2} + 6$ , y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2^{2} + 6$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $- 2^{2} + 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

Paso 1.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = - 4 + 6$

Paso 1.3.2.2.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$y = 2$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

Paso 2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

Paso 4.2

Para escribir $- x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

Paso 4.3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Combina $- x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

Paso 4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

Paso 4.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

Paso 4.4.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

Paso 4.4.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

Paso 4.4.1.3

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

Paso 4.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

Paso 4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

Paso 4.5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Paso 4.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Paso 4.7

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Paso 4.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Paso 4.9

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

Paso 4.10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.10.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $2$ y en $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

Paso 4.10.2

Evalúa $6 x$ en $2$ y en $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.10.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.5

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.7

Suma $8$ y $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.8

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.9

Multiplica $16$ por $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.11

Cancela el factor común de $48$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.10.3.11.1

Factoriza $6$ de $48$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.10.3.11.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.11.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.12

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.13

Multiplica $6$ por $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

Paso 4.10.3.14

Multiplica $- 6$ por $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

Paso 4.10.3.15

Suma $12$ y $12$ .

$- 8 + 24$

Paso 4.10.3.16

Suma $- 8$ y $24$ .

$16$

Paso 5