Cálculo Ejemplos

$y = x + 12$ , $y = x^{2}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x + 12 = x^{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x + 12 = x^{2}$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 12 - x^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza $- 1$ de $x + 12 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Reordena la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1.1

Mueve $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.2.2.1.1.2

Reordena $x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 1.2.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 12$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3 + y = x^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

Paso 1.2.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 3$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = {(4)}^{2}$

Paso 1.3.2

Sustituye $4$ por $x$ en $y = {(4)}^{2}$ , y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4^{2}$

Paso 1.3.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

Paso 1.4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = 9$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{4} x + 12 d x - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 3$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - (x^{2}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - x^{2} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1.1

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}$ y $12 x]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

Paso 3.8.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Paso 3.8.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + 12 x$ en $4$ y en $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Paso 3.8.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.3

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.3.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.4

Multiplica $12$ por $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.5

Suma $8$ y $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.8

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.9

Para escribir $- 36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.10

Combina $- 36$ y $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.12

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.12.1

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.12.2

Resta $72$ de $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.15

Multiplica $\frac{63}{2}$ por $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.16

Para escribir $56$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.17

Combina $56$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.19

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.19.1

Multiplica $56$ por $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.19.2

Suma $112$ y $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.20

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.21

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Paso 3.8.2.3.22

Cancela el factor común de $- 27$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.22.1

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Paso 3.8.2.3.22.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.22.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Paso 3.8.2.3.22.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Paso 3.8.2.3.22.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Paso 3.8.2.3.22.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Paso 3.8.2.3.23

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Paso 3.8.2.3.24

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.8.2.3.25

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Paso 3.8.2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Paso 3.8.2.3.27

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.27.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Paso 3.8.2.3.27.2

Suma $64$ y $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Paso 3.8.2.3.28

Para escribir $\frac{175}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Paso 3.8.2.3.29

Para escribir $- \frac{91}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.8.2.3.30

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.30.1

Multiplica $\frac{175}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.8.2.3.30.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.8.2.3.30.3

Multiplica $\frac{91}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 3.8.2.3.30.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Paso 3.8.2.3.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Paso 3.8.2.3.32

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.32.1

Multiplica $175$ por $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Paso 3.8.2.3.32.2

Multiplica $- 91$ por $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Paso 3.8.2.3.32.3

Resta $182$ de $525$ .

$\frac{343}{6}$

Paso 4