Cálculo Ejemplos

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x = \sqrt[4]{x}$

Paso 1.2

Resuelve $x = \sqrt[4]{x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt[4]{x} = x$

Paso 1.2.2

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

Paso 1.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = x^{4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Simplifica.

$x = x^{4}$

Paso 1.2.4

Resuelve $x$

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Paso 1.2.4.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x^{4} = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $x$ de $x - x^{4}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Paso 1.2.4.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Paso 1.2.4.2.1.3

Factoriza $x$ de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.4

Factoriza.

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Paso 1.2.4.2.4.1

Simplifica.

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Paso 1.2.4.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

Paso 1.2.4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 1.2.4.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.5.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 1.2.4.6

Establece $1 + x + x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Establece $1 + x + x^{2}$ igual a $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.6.2

Resuelve $1 + x + x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

Paso 1.2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

Paso 1.2.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.6.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.6.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.6.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{0}$

Paso 1.3.2

Simplifica $\sqrt[4]{0}$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt[4]{0}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 1.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{1}$

Paso 1.4.2

Simplifica $\sqrt[4]{1}$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt[4]{1}$

Paso 1.4.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6

Evalúa $y$ cuando $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.6.1

Sustituye $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6.2

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.7

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3