Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $\sqrt{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + x}$ como ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 + x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Como $- \sqrt{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sqrt{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.35355339 \dots$