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Cálculo Ejemplos
Paso 1
Paso 1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Paso 1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.3
Diferencia.
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.7
Simplifica la expresión.
Paso 1.7.1
Suma y .
Paso 1.7.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.9
Multiplica por .
Paso 1.10
Simplifica.
Paso 1.10.1
Reordena los términos.
Paso 1.10.2
Reordena los factores en .
Paso 2
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Paso 2.2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.3.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.7
Multiplica por .
Paso 2.2.8
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 2.2.8.1
Mueve .
Paso 2.2.8.2
Multiplica por .
Paso 2.2.8.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.8.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.2.8.3
Suma y .
Paso 2.2.9
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.3
Evalúa .
Paso 2.3.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Paso 2.3.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.4
Multiplica por .
Paso 2.4
Simplifica.
Paso 2.4.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.2
Combina los términos.
Paso 2.4.2.1
Multiplica por .
Paso 2.4.2.2
Multiplica por .
Paso 2.4.2.3
Mueve .
Paso 2.4.2.4
Resta de .
Paso 2.4.3
Reordena los términos.
Paso 2.4.4
Reordena los factores en .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 4.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.3
Diferencia.
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Multiplica por .
Paso 4.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 4.1.7
Simplifica la expresión.
Paso 4.1.7.1
Suma y .
Paso 4.1.7.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.9
Multiplica por .
Paso 4.1.10
Simplifica.
Paso 4.1.10.1
Reordena los términos.
Paso 4.1.10.2
Reordena los factores en .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Multiplica por .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
Paso 5.4.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 5.4.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 5.4.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Resuelve en .
Paso 5.5.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.5.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Paso 5.5.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.5.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 5.5.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
Paso 5.5.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.5.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 5.5.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
Paso 5.5.2.2.3.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 5.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Paso 5.5.2.4
Simplifica .
Paso 5.5.2.4.1
Reescribe como .
Paso 5.5.2.4.2
Cualquier raíz de es .
Paso 5.5.2.4.3
Multiplica por .
Paso 5.5.2.4.4
Combina y simplifica el denominador.
Paso 5.5.2.4.4.1
Multiplica por .
Paso 5.5.2.4.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.5.2.4.4.3
Eleva a la potencia de .
Paso 5.5.2.4.4.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 5.5.2.4.4.5
Suma y .
Paso 5.5.2.4.4.6
Reescribe como .
Paso 5.5.2.4.4.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 5.5.2.4.4.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 5.5.2.4.4.6.3
Combina y .
Paso 5.5.2.4.4.6.4
Cancela el factor común de .
Paso 5.5.2.4.4.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 5.5.2.4.4.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.5.2.4.4.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 5.5.2.5
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 5.5.2.5.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 5.5.2.5.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 5.5.2.5.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 5.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Paso 9.1
Simplifica cada término.
Paso 9.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.1.2
Simplifica el numerador.
Paso 9.1.2.1
Reescribe como .
Paso 9.1.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.2.3
Reescribe como .
Paso 9.1.2.3.1
Factoriza de .
Paso 9.1.2.3.2
Reescribe como .
Paso 9.1.2.4
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 9.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.4
Cancela el factor común de .
Paso 9.1.4.1
Factoriza de .
Paso 9.1.4.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.4.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.5
Cancela el factor común de .
Paso 9.1.5.1
Cancela el factor común.
Paso 9.1.5.2
Divide por .
Paso 9.1.6
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.1.7
Reescribe como .
Paso 9.1.7.1
Usa para reescribir como .
Paso 9.1.7.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 9.1.7.3
Combina y .
Paso 9.1.7.4
Cancela el factor común de .
Paso 9.1.7.4.1
Cancela el factor común.
Paso 9.1.7.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.7.5
Evalúa el exponente.
Paso 9.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.9
Cancela el factor común de y .
Paso 9.1.9.1
Factoriza de .
Paso 9.1.9.2
Cancela los factores comunes.
Paso 9.1.9.2.1
Factoriza de .
Paso 9.1.9.2.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.9.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.10
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 9.1.11
Combina y .
Paso 9.1.12
Cancela el factor común de .
Paso 9.1.12.1
Factoriza de .
Paso 9.1.12.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.12.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.13
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.1.14
Reescribe como .
Paso 9.1.14.1
Usa para reescribir como .
Paso 9.1.14.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 9.1.14.3
Combina y .
Paso 9.1.14.4
Cancela el factor común de .
Paso 9.1.14.4.1
Cancela el factor común.
Paso 9.1.14.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.14.5
Evalúa el exponente.
Paso 9.1.15
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.16
Cancela el factor común de y .
Paso 9.1.16.1
Factoriza de .
Paso 9.1.16.2
Cancela los factores comunes.
Paso 9.1.16.2.1
Factoriza de .
Paso 9.1.16.2.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.16.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.17
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 9.1.18
Multiplica .
Paso 9.1.18.1
Combina y .
Paso 9.1.18.2
Combina y .
Paso 9.1.19
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 9.2
Simplifica los términos.
Paso 9.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 9.2.2
Resta de .
Paso 9.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Paso 11.2.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 11.2.2
Reescribe como .
Paso 11.2.2.1
Usa para reescribir como .
Paso 11.2.2.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 11.2.2.3
Combina y .
Paso 11.2.2.4
Cancela el factor común de .
Paso 11.2.2.4.1
Cancela el factor común.
Paso 11.2.2.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.2.5
Evalúa el exponente.
Paso 11.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.4
Cancela el factor común de y .
Paso 11.2.4.1
Factoriza de .
Paso 11.2.4.2
Cancela los factores comunes.
Paso 11.2.4.2.1
Factoriza de .
Paso 11.2.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 11.2.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.5
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 11.2.6
Combinar.
Paso 11.2.7
Multiplica por .
Paso 11.2.8
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Paso 13.1
Simplifica cada término.
Paso 13.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Paso 13.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.3
Simplifica el numerador.
Paso 13.1.3.1
Reescribe como .
Paso 13.1.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.3.3
Reescribe como .
Paso 13.1.3.3.1
Factoriza de .
Paso 13.1.3.3.2
Reescribe como .
Paso 13.1.3.4
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 13.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.5
Cancela el factor común de .
Paso 13.1.5.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 13.1.5.2
Factoriza de .
Paso 13.1.5.3
Cancela el factor común.
Paso 13.1.5.4
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.6
Cancela el factor común de y .
Paso 13.1.6.1
Factoriza de .
Paso 13.1.6.2
Cancela los factores comunes.
Paso 13.1.6.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.6.2.4
Divide por .
Paso 13.1.7
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Paso 13.1.7.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.7.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.8
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 13.1.8.1
Mueve .
Paso 13.1.8.2
Multiplica por .
Paso 13.1.8.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.8.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 13.1.8.3
Suma y .
Paso 13.1.9
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.10
Reescribe como .
Paso 13.1.10.1
Usa para reescribir como .
Paso 13.1.10.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 13.1.10.3
Combina y .
Paso 13.1.10.4
Cancela el factor común de .
Paso 13.1.10.4.1
Cancela el factor común.
Paso 13.1.10.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.10.5
Evalúa el exponente.
Paso 13.1.11
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.12
Cancela el factor común de y .
Paso 13.1.12.1
Factoriza de .
Paso 13.1.12.2
Cancela los factores comunes.
Paso 13.1.12.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.12.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.12.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.13
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.14
Combina y .
Paso 13.1.15
Cancela el factor común de .
Paso 13.1.15.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 13.1.15.2
Factoriza de .
Paso 13.1.15.3
Cancela el factor común.
Paso 13.1.15.4
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.16
Multiplica por .
Paso 13.1.17
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Paso 13.1.17.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.17.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.18
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 13.1.18.1
Mueve .
Paso 13.1.18.2
Multiplica por .
Paso 13.1.18.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.18.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 13.1.18.3
Suma y .
Paso 13.1.19
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.20
Reescribe como .
Paso 13.1.20.1
Usa para reescribir como .
Paso 13.1.20.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 13.1.20.3
Combina y .
Paso 13.1.20.4
Cancela el factor común de .
Paso 13.1.20.4.1
Cancela el factor común.
Paso 13.1.20.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.20.5
Evalúa el exponente.
Paso 13.1.21
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.22
Cancela el factor común de y .
Paso 13.1.22.1
Factoriza de .
Paso 13.1.22.2
Cancela los factores comunes.
Paso 13.1.22.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.22.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.22.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.23
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.24
Multiplica .
Paso 13.1.24.1
Combina y .
Paso 13.1.24.2
Combina y .
Paso 13.2
Simplifica los términos.
Paso 13.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 13.2.2
Suma y .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Paso 15.2.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Paso 15.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 15.2.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 15.2.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 15.2.2.1
Mueve .
Paso 15.2.2.2
Multiplica por .
Paso 15.2.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 15.2.2.3
Suma y .
Paso 15.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.4
Reescribe como .
Paso 15.2.4.1
Usa para reescribir como .
Paso 15.2.4.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 15.2.4.3
Combina y .
Paso 15.2.4.4
Cancela el factor común de .
Paso 15.2.4.4.1
Cancela el factor común.
Paso 15.2.4.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.4.5
Evalúa el exponente.
Paso 15.2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.6
Cancela el factor común de y .
Paso 15.2.6.1
Factoriza de .
Paso 15.2.6.2
Cancela los factores comunes.
Paso 15.2.6.2.1
Factoriza de .
Paso 15.2.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 15.2.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.7
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 15.2.8
Multiplica por .
Paso 15.2.9
Mueve a la izquierda de .
Paso 15.2.10
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 17