Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=xe^(-x^2)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.7
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1
Suma y .
Paso 1.7.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.9
Multiplica por .
Paso 1.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.10.1
Reordena los términos.
Paso 1.10.2
Reordena los factores en .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.3.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.7
Multiplica por .
Paso 2.2.8
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.8.1
Mueve .
Paso 2.2.8.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.8.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.8.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.2.8.3
Suma y .
Paso 2.2.9
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.4
Multiplica por .
Paso 2.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.2
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.2.1
Multiplica por .
Paso 2.4.2.2
Multiplica por .
Paso 2.4.2.3
Mueve .
Paso 2.4.2.4
Resta de .
Paso 2.4.3
Reordena los términos.
Paso 2.4.4
Reordena los factores en .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 4.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Multiplica por .
Paso 4.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 4.1.7
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.7.1
Suma y .
Paso 4.1.7.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.9
Multiplica por .
Paso 4.1.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.10.1
Reordena los términos.
Paso 4.1.10.2
Reordena los factores en .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Multiplica por .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 5.4.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 5.4.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.5.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.5.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.5.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 5.5.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.2.3.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 5.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Paso 5.5.2.4
Simplifica .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.4.1
Reescribe como .
Paso 5.5.2.4.2
Cualquier raíz de es .
Paso 5.5.2.4.3
Multiplica por .
Paso 5.5.2.4.4
Combina y simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.4.4.1
Multiplica por .
Paso 5.5.2.4.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.5.2.4.4.3
Eleva a la potencia de .
Paso 5.5.2.4.4.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 5.5.2.4.4.5
Suma y .
Paso 5.5.2.4.4.6
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.4.4.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 5.5.2.4.4.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 5.5.2.4.4.6.3
Combina y .
Paso 5.5.2.4.4.6.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.4.4.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 5.5.2.4.4.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.5.2.4.4.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 5.5.2.5
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.5.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 5.5.2.5.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 5.5.2.5.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 5.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.1.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.2.1
Reescribe como .
Paso 9.1.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.2.3
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.2.3.1
Factoriza de .
Paso 9.1.2.3.2
Reescribe como .
Paso 9.1.2.4
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 9.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.4.1
Factoriza de .
Paso 9.1.4.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.4.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.5
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.5.1
Cancela el factor común.
Paso 9.1.5.2
Divide por .
Paso 9.1.6
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.1.7
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.7.1
Usa para reescribir como .
Paso 9.1.7.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 9.1.7.3
Combina y .
Paso 9.1.7.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.7.4.1
Cancela el factor común.
Paso 9.1.7.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.7.5
Evalúa el exponente.
Paso 9.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.9
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.9.1
Factoriza de .
Paso 9.1.9.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.9.2.1
Factoriza de .
Paso 9.1.9.2.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.9.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.10
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 9.1.11
Combina y .
Paso 9.1.12
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.12.1
Factoriza de .
Paso 9.1.12.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.12.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.13
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.1.14
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.14.1
Usa para reescribir como .
Paso 9.1.14.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 9.1.14.3
Combina y .
Paso 9.1.14.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.14.4.1
Cancela el factor común.
Paso 9.1.14.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.14.5
Evalúa el exponente.
Paso 9.1.15
Eleva a la potencia de .
Paso 9.1.16
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.16.1
Factoriza de .
Paso 9.1.16.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.16.2.1
Factoriza de .
Paso 9.1.16.2.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.16.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.17
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 9.1.18
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.18.1
Combina y .
Paso 9.1.18.2
Combina y .
Paso 9.1.19
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 9.2
Simplifica los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 9.2.2
Resta de .
Paso 9.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 11.2.2
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.2.1
Usa para reescribir como .
Paso 11.2.2.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 11.2.2.3
Combina y .
Paso 11.2.2.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.2.4.1
Cancela el factor común.
Paso 11.2.2.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.2.5
Evalúa el exponente.
Paso 11.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.4
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.4.1
Factoriza de .
Paso 11.2.4.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.4.2.1
Factoriza de .
Paso 11.2.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 11.2.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.5
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 11.2.6
Combinar.
Paso 11.2.7
Multiplica por .
Paso 11.2.8
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.3.1
Reescribe como .
Paso 13.1.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.3.3
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.3.3.1
Factoriza de .
Paso 13.1.3.3.2
Reescribe como .
Paso 13.1.3.4
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 13.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.5
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.5.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 13.1.5.2
Factoriza de .
Paso 13.1.5.3
Cancela el factor común.
Paso 13.1.5.4
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.6
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.6.1
Factoriza de .
Paso 13.1.6.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.6.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.6.2.4
Divide por .
Paso 13.1.7
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.7.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.7.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.8
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.8.1
Mueve .
Paso 13.1.8.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.8.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.8.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 13.1.8.3
Suma y .
Paso 13.1.9
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.10
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.10.1
Usa para reescribir como .
Paso 13.1.10.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 13.1.10.3
Combina y .
Paso 13.1.10.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.10.4.1
Cancela el factor común.
Paso 13.1.10.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.10.5
Evalúa el exponente.
Paso 13.1.11
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.12
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.12.1
Factoriza de .
Paso 13.1.12.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.12.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.12.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.12.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.13
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.14
Combina y .
Paso 13.1.15
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.15.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 13.1.15.2
Factoriza de .
Paso 13.1.15.3
Cancela el factor común.
Paso 13.1.15.4
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.16
Multiplica por .
Paso 13.1.17
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.17.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.17.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 13.1.18
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.18.1
Mueve .
Paso 13.1.18.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.18.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.18.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 13.1.18.3
Suma y .
Paso 13.1.19
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.20
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.20.1
Usa para reescribir como .
Paso 13.1.20.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 13.1.20.3
Combina y .
Paso 13.1.20.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.20.4.1
Cancela el factor común.
Paso 13.1.20.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.20.5
Evalúa el exponente.
Paso 13.1.21
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.22
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.22.1
Factoriza de .
Paso 13.1.22.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.22.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.22.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.22.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.23
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.24
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.24.1
Combina y .
Paso 13.1.24.2
Combina y .
Paso 13.2
Simplifica los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 13.2.2
Suma y .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 15.2.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 15.2.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1
Mueve .
Paso 15.2.2.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 15.2.2.3
Suma y .
Paso 15.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.4
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.4.1
Usa para reescribir como .
Paso 15.2.4.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 15.2.4.3
Combina y .
Paso 15.2.4.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.4.4.1
Cancela el factor común.
Paso 15.2.4.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.4.5
Evalúa el exponente.
Paso 15.2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.6
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.6.1
Factoriza de .
Paso 15.2.6.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.6.2.1
Factoriza de .
Paso 15.2.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 15.2.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.7
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 15.2.8
Multiplica por .
Paso 15.2.9
Mueve a la izquierda de .
Paso 15.2.10
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 17