Cálculo Ejemplos

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{t} + 1)}^{2}$ como $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Paso 1.2

Expande $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $e^{t}$ por $e^{t}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Paso 1.3.1.1.2

Suma $t$ y $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Paso 1.3.2

Suma $e^{t}$ y $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Paso 3

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Paso 4

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Paso 8

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$