Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ como $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Paso 5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Paso 5.5

Suma $1$ y $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Paso 7.2

Multiplica $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Paso 11.1.3

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Paso 11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.2.1

Evalúa $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ en $7$ y en $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Paso 11.2.2

Evalúa $- \frac{1}{2 x^{2}}$ en $7$ y en $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3

Simplifica.

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Paso 11.2.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3.6

Multiplica $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Paso 11.2.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Paso 11.2.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Paso 11.2.3.9

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Paso 11.2.3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $98$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Paso 11.2.3.10.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Paso 11.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Paso 11.2.3.12

Suma $- 1$ y $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Paso 11.2.3.13

Cancela el factor común de $48$ y $98$ .

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Paso 11.2.3.13.1

Factoriza $2$ de $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Paso 11.2.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Paso 11.2.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Paso 11.2.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Paso 11.2.3.14

Reescribe $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ como un producto.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 11.2.3.15

Multiplica $\frac{24}{49}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Paso 11.2.3.16

Multiplica $49$ por $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Paso 11.2.3.17

Cancela el factor común de $24$ y $98$ .

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Paso 11.2.3.17.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Paso 11.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.17.2.1

Factoriza $2$ de $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Paso 11.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Paso 11.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Paso 12.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Paso 12.2

Suma $- \frac{\ln (7)}{98}$ y $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (7)}{98}$ al numerador.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Paso 12.4.2

Factoriza $2$ de $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Paso 12.4.3

Cancela el factor común.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Paso 12.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Paso 12.5

Multiplica $2 (\frac{12}{49})$ .

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Paso 12.5.1

Combina $2$ y $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Paso 12.5.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Paso 12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Forma decimal:

$0.45008346 \dots$