Cálculo Ejemplos

$8 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Factoriza $\sin^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 5

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 5.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 5.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 5.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 6

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 7.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$8 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$8 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $0$ y en $1$ .

$8 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Paso 14.2

Evalúa $\frac{u^{5}}{5}$ en $0$ y en $1$ .

$8 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3

Simplifica.

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Paso 14.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$8 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 14.3.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$8 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$8 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.4

Resta $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$8 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.8

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 14.3.8.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.8.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 14.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Paso 14.3.10

Resta $\frac{1}{5}$ de $0$ .

$8 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Paso 14.3.11

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 14.3.12

Para escribir $- \frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 14.3.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.3.13.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 14.3.13.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 14.3.13.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Paso 14.3.13.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Paso 14.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{5 - 3}{15}$

Paso 14.3.15

Resta $3$ de $5$ .

$8 (\frac{2}{15})$

Paso 14.3.16

Combina $8$ y $\frac{2}{15}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{15}$

Paso 14.3.17

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{16}{15}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{16}{15}$

Forma decimal:

$1.0\overline{6}$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{15}$

Paso 16