Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea

$x = 2 \sin (t)$ , donde

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces

$d x = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$2 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a

$2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica

$4$ por

$- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza

$4$ de

$4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza

$4$ de

$- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza

$4$ de

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe

$4 \cos^{2} (t)$ como

${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de

$2 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza

$2 \cos (t)$ de

${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a

$2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3

Dado que

$\frac{1}{4}$ es constante con respecto a

$t$ , mueve

$\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Paso 4

Convierte de

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a

$\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 5

Como la derivada de

$- \cot (t)$ es

$\csc^{2} (t)$ , la integral de

$\csc^{2} (t)$ es

$- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Paso 6.2

Combina

$\frac{1}{4}$ y

$\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de

$t$ con

$\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ ,

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces

$\arcsin (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto,

$\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ es

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Paso 8.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.3

Reescribe

$1$ como

$1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

$a = 1$ y

$b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.5

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.7

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.9

Multiplica

$\frac{2 + x}{2}$ por

$\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.10

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.11

Reescribe

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como

${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Paso 8.1.11.1

Factoriza la potencia perfecta

$1^{2}$ de

$(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.11.2

Factoriza la potencia perfecta

$2^{2}$ de

$4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.11.3

Reorganiza la fracción

$\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.12

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.13

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.14

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.1.14.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.14.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.15

Combina

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ y

$\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Paso 8.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Paso 8.3

Multiplica

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ por

$\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Paso 8.4

Mueve

$4$ a la izquierda de

$x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$