Cálculo Ejemplos

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $z$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Paso 2

Sea $u = 3 z^{2} - 7$ . Entonces $d u = 6 z d z$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = z d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 z^{2} - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 z^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 z^{2} - 7$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $3 z^{2}$ con respecto a $z$ es $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $z$ es $0$ .

$6 z + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $6 z$ y $0$ .

$6 z$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $9$ .

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.5

Multiplica $u^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 z^{2} - 7$ .

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$